Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 4/8

Der Abtastvorgang in der Praxis

Bild 26: Der Name ist Programm: Sample&Hold (Abtasten und Halten)

Abbildung 26 zeigt die wesentlichen Funktionsblöcke. Das analoge Eingangssignal wird durch einen analogen Tiefpass bandbegrenzt, um die Einhaltung des Abtasttheorems sicherzustellen. Nun gibt es leider den idealen Abtaster, dessen Wirkungsweise durch Gleichung 50 beschrieben wird, in der Praxis nicht. Er müsste ja in unendlich kurzer Zeit den Signalwert zum Abtastzeitpunkt ermitteln, was technisch nicht möglich ist.

Bild 27: Der reale Abtaster hält den Abtastwert über ein Abtastintervall.

Das Problem wird gelöst, indem man den Abtastwert am Beginn des Abtastintervalls über die ganze Dauer des Abtastintervalls „hält“ (Abbildung 27). Daher stammen auch die Begriffe Abtast-Halteglied oder Sample&Hold (S/H). Es entsteht so aus einer Folge bewerteter Dirac-Stöße eine Treppenkurve, wobei die Stufenwerte identisch sind mit den Funktionswerten zum Zeitpunkt des Abtaststoßes. In der Regel haben wir es deshalb mit einer Treppe mit ungleichmäßiger Stufenhöhe zu tun. Weil das Abtast-Halteglied den Eingangswert über die Abtastperiode konstant hält, kann man es auch als Reihenschaltung aus einem idealen Abtaster mit einem Halteglied nullter Ordnung (Zero-Order-Hold: ZOH) beschreiben. Der Vorgang des Haltens eines idealen Abtastwerts hat natürlich seine Auswirkungen, insbesondere auf den Frequenzgang.

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Impulsantwort und Frequenzgang eines ZOH

Bild 28: Die Impulsantwort eines Haltegliedes nullter Ordnung (ZOH) ist ein Rechteck von der Dauer eines Abtastintervalls.

Abbildung 28 fasst die Wirkung eines ZOH im Zeitbereich zusammen. Der am Eingang zum Zeitpunkt t = 0 anliegende Impuls δ(t) wird über eine Abtastperiode Ts „gehalten“. Das ZOH reagiert auf den Eingangsimpuls δ(t) also durch eine rechteckförmige Impulsantwort. Schauen wir uns jetzt einmal das Rechteck in Abbildung 13, Teil 2, an, erkennen wir, dass die Impulsantwort lediglich ein um eine halbe Rechteckbreite verzögertes Abbild davon ist. Mit der Zeitverschiebungseigenschaft aus Tabelle 1 in Teil 1 können wir deshalb sofort H(iω) als Fouriertransformierte von h(t) gemäß Gleichung 66 angeben.

Bild 29: Der Frequenzgang eines ZOHs nach Betrag und Phase

Die Fouriertransformierte der Impulsantwort eines ZOH ist eine komplexe Funktion der Kreisfrequenz ω und hat somit einen Betrags- und einen Phasengang, die beide natürlich ebenfalls von ω abhängig sind (Abbildung 29). Das ZOH hat also eine Tiefpasswirkung mit dem Betragsfrequenzgang |si(ωTs/2)|. Der Vorfaktor Ts lässt sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf 1 normieren. Man sieht, dass bei Vielfachen der Abtastfrequenz ωs, also dort, wo die periodischen Aliasspektren liegen, die Nullstellen des Betragsfrequenzgangs auftreten. Dadurch werden die Aliasspektren deutlich gedämpft. Allerdings erfährt das Basisbandspektrum ebenfalls eine mit der Frequenz zunehmende Abschwächung, die jedoch durch einen inversen Frequenzgang des analogen Eingangstiefpasses kompensiert werden kann (Präemphase).

Bild 30: Die periodischen Spektren einer abgetasteten Funktion werden an den Nullstellen des ZOH-Frequenzgangs gestaucht.

Bei kräftiger Überabtastung (wo sich das Basisbandspektrum im noch schwach abfallenden Bereich der si-Funktion befindet) ist der Fehler meist vernachlässigbar. Abbildung 30 demonstriert das für eine Sinusschwingung, die mit einer 10-mal so hohen Frequenz abgetastet wird. Dann wird die Spektrallinie bei ω0 um 1,64 % durch den ZOH-Frequenzgang gedämpft, die Alias-Spektrallinie bei ωs – ω0 um 89,07 %, die bei ωs + ω0 um 91,06 %, die bei 2 ωs – ω0 um 94,82 % usw.

Bild 31: Nach dem ZOH ist der rekonstruierte Sinus leicht in der Amplitude reduziert und verzögert.

Die Auswirkungen des ZOH im Zeitbereich lassen sich leicht an Abbildung 27 unten unter Auswertung von Gleichung (66) veranschaulichen (Abbildung 31). Wir können abzählen, dass eine Abtastperiode von 200 ms vorliegt, entsprechend 5 Hz Abtastfrequenz. Die Periodendauer der abgetasteten Sinusschwingung ist 1,5 s, entsprechend 2/3 Hz. Es wird daher mit dem 7,5fachen der Sinusfrequenz abgetastet. Damit ist die Amplitude der durch einen idealen Tiefpass aus dem ZOHAusgangssignal ausgefilterten Grundwelle um 2,9 % verringert. Ihre Verzögerung beträgt 180°/7,5 = 24°, was dem 15. Teil der Periode des Sinus bzw. der Hälfte der Abtastperiode, also 100 ms, entspricht.

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Von der Treppenkurve zum Digital-Signal

Die Treppenkurve hinter dem Abtast-Halteglied ist wertekontinuierlich. Die Stufenhöhe entspricht der Veränderung des Sig nalwerts von einem Abtastzeitpunkt zum nächsten. Dennoch ist die Treppenkurve kein getreues Abbild des Analog- Signals. Zu Beginn einer Stufe haben Treppe und Signal den gleichen Wert. Weil während des Abtastintervalls dieser Wert vom ZOH gehalten wird, bildet sich im Lauf des Abtastintervalls ein zunehmender Fehler. Dieser Fehler hat also seine Ursache in der Diskretisierung der Zeit. In einem digitalen Signalverarbeitungssystem wird bekanntlich mit Binärzahlen (Folgen aus Nullen und Einsen = Wort) gerechnet. Deren Länge ist in der Praxis begrenzt, wodurch sich nur eine endliche Anzahl von Werten darstellen lässt. Dies ist eine Diskretisierung der Amplitudenwerte. Dazu muss die Stufenhöhe der Treppenkurve in ein Raster gebracht werden, dessen Feinheit von der Wortlänge vorgegeben wird. Diesen Vorgang nennt man Quantisierung.

Bild 32: Durch das Darstellen des ZOH-Ausgangssignals mit endlicher Genauigkeit entsteht ein Quantisierungsfehler.

Abbildung 32 zeigt, was gemeint ist. Eine analoge Kurve wird real abgetastet. Hinter dem ZOH ergibt sich die grüne, wertekontinuierliche Treppenkurve mit uneinheitlicher Stufenhöhe. Um die Signalamplitude zwischen 0 und 1 mit einer 4-Bit-Zahl zu beschreiben, muss die Amplitude auf 24 = 16 Stufenwerte beschränkt werden. Die Signalamplitude kann dann nur noch in Vielfachen von 1/16 = 0,0625 beschrieben werden, sie ist quantisiert (rote Treppenkurve) und dadurch wertediskret. Die Signalamplitude am Beginn des Abtastintervalls stimmt jetzt nicht mehr mit der Treppenhöhe überein. Die „Körnigkeit der digitalen Amplituden“, zusammen mit dem Fehler durch die Treppendarstellung, verursacht einen rauschartigen Effekt – das Quantisierungs- oder Rundungsrauschen (blaue Kurve). Es ist anschaulich, dass das Quantisierungsrauschen mit zunehmender Wortlänge und kürzeren Abtastintervallen abnimmt, weil die Approximation durch die feinere Treppenkurve genauer wird.

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Analog-zu-digital-Wandler

In der Praxis übernimmt der Analog-Digital-Wandler (A/DWandler, ADC: Analogue to Digital Converter) die Funktion des Quantisierens. Sein analoger Eingang wird mit dem Ausgangssignal des S&H-Glieds gespeist (grüne Treppenkurve). Im Laufe der Abtastperiode muss das mit der Stufenhöhe am besten korrespondierende Binärwort berechnet werden. Damit wird die Folge der grünen Stufen in Abbildung 32 in eine Folge von Binärzahlen entsprechend den roten Stufen umgewandelt.

Bild 33: Die Kennlinie eines A/D-Wandlers beschreibt, wie analoge Eingangswerte in digitale Ausgangswörter umgesetzt werden.

Die Kennlinie eines A/D-Wandlers ist in Abbildung 33 dargestellt. Symmetrische Signale in einem Bereich von beispielsweise ±800 mV können von diesem Wandler in 16 digitale Zahlenwerte gewandelt werden. Die Auflösung beträgt dadurch 100 mV. Ein Beispiel aus der Praxis: Ein 12-Bit-ADC ist für einen Full-Scale-Messbereich von ±10 V ausgelegt. Er kann also 212 = 4096 Amplitudenintervalle unterscheiden, die Intervallbreite beträgt demnach 4,88 mV. Bei einem Signalwert von beispielsweise +16 mV wird in der Vorzeichen-Betragsdarstellung der Wert 000000000011 ausgegeben, weil er im Intervall 14,64…19,52 mV liegt.

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Digitale Zahlenformate

Computer arbeiten mit Zahlendarstellungen, die nur aus den Ziffern 0 und 1 bestehen und deshalb als zweiwertig, dual oder binär bezeichnet werden. Wir wollen uns nur knapp und übersichtsartig mit den wichtigsten Darstellungsformen beschäftigen. Das duale Zahlensystem gehört wie auch das Dezimal- oder das Hexadezimalsystem zur Klasse der polyadischen Zahlensysteme. Das bedeutet, dass jede endliche reelle Zahl als Summe von Potenzen einer ganzzahligen Basis B dargestellt werden kann. Gleichung (67) zeigt dies. Am Beispiel für die dezimale Zahl 49,375 (Basis B = 10, Koeffizienten 0 ≤ ξ ≤B – 1 = 9) sei dies in Gleichung (68) erläutert. Die Darstellung als duale Zahl in Gleichung (69) erfolgt genau gleich, außer dass die Basis jetzt B = 2 ist und die Koeffizienten nur den Wert 0 oder 1 annehmen können.

Zur Vereinfachung kann man nun nur noch die Koeffizienten anschreiben und durch das Komma anzeigen, ab wo die Hochzahlen der Potenzen negativ sind. Aus Gleichung (69) wird dann Gleichung (70). Bei ganzen Zahlen fallen die Potenzen mit negativen Hochzahlen weg, das Komma und was rechts davon steht, kann gestrichen werden. Wir haben es dann mit einer vorzeichenlosen Ganzzahl (Unsigned Integer) oder Festkommazahl zu tun. Zur Terminologie: Die Koeffizienten der Potenzen mit den möglichen Werten 0 oder 1 werden als Bits bezeichnet. Der Koeffizient der größten Potenz heißt MSB (Most Significant Bit = höchstwertiges Bit) und steht im Bitmuster ganz links. Der Koeffizient der kleinsten Potenz heißt LSB (Least Significant Bit = niedrigstwertiges Bit) und steht im Bitmuster ganz rechts. 8 Bits fasst man zu einem Byte (auch 8-Bits-Wort genannt) zusammen und ein Byte wiederum besteht aus zwei Halbbytes (4-Bits-Wort), den Nibbles. Die höherwertigen linken vier Bits bilden das „upper nibble“, die rechten das „lower nibble“.

Bild 34: Eine Übersicht über die wichtigsten Darstellungsformen für Binärzahlen

Weil sich alle Operationen mit Binärzahlen auf Additionen zurückführen lassen, genügt es, die elementare Rechenvorschrift für die Addition zweier Bits zu kennen: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10. Man beachte, dass bei der Addition von zwei Einsen ein Überlauf in die höherwertige Stelle erfolgt. Einige binäre Darstellungsformen für Festkommazahlen zeigt Abbildung 34.

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Vorzeichenlose Ganzzahl (Unsigned Integer)

Hier wird einfach von null ausgehend hochgezählt. Negative Zahlen können nicht dargestellt werden. Die Umwandlung in eine Dezimalzahl (oder eine Zahl mit einer anderen Basis als 10) ist einfach durch Anwendung von Gleichung (67) möglich.

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Binärversatz (Offset Binary)

Wie Unsigned Integer, aber gegen die dezimalen Werte so verschoben, dass auch negative Zahlen darstellbar sind.

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Vorzeichen-Betrag (Sign and Magnitude)

Hier wird ganz einfach das MSB als Vorzeichen (0: positiv, 1: negativ) und der rechts davon stehende Rest als Betrag interpretiert. Dadurch „verschwendet“ man eine Ziffer, denn es entstehen eine positive Null (0000) und eine negative Null (1000).

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Zweierkomplement (Two's Complement)

Diese Darstellungsform ist in der digitalen Signalverarbeitung und in modernen Computern mit Abstand am beliebtesten. Das ist in der einfachen Art begründet, mit der sich Additionen und Subtraktionen hardwaremäßig ausführen lassen. Eine einfache Analogie ist der Walzenmechanismus eines Kilometerzählers in einem älteren Tachometer. Steht er auf null und man fährt in Vorwärtsrichtung los, wird er anzeigen „0000, 0001, 0002, 0003, …“. Beim Rückwärtsfahren dagegen wird man ablesen „0000, 9999, 9998, 9997, …“. In binärer Darstellung führt das bei den positiven Zahlen zu 0000, 0001, 0010, 0011, …“ bzw. „0000, 1111, 1110, 1101, …“. Diesen Zählmechanismus findet man in den aus Flipflops bestehenden Rechenregistern eines Computers wieder, was ihn so geeignet für die Maschine macht. Beim Rückwärtszählen aus dem positiven Bereich erfolgt der Übergang zu den negativen Zahlen einfach durch einen Überlauf 0000 → 1111. Die Interpretation der Zahl ist damit ganz einfach: Das MSB bestimmt die Polarität (MSB = 0: positiv, MSB = 1: negativ). Bei den positiven Zahlen wird der Rest des Bitmusters als Betrag bestimmt, bei den negativen Zahlen wird der Rest des Bitmusters invertiert (0 → 1, 1 → 0) und 1 dazuaddiert, das Ergebnis wird (ohne MSB!) als Betrag der negativen Zahl interpretiert. Zum Beispiel +7 → –7 entspricht 0111 → 1000 + 0001 = 1001. Addition und Subtraktion führen in Zweierkomplementdarstellung ohne weitere Korrekturen zum richtigen Ergebnis. Ein Beispiel: +5 – 7 = +5 + (–7) = –2 → 0101 + 1001 = 1110

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Gleitkommazahlen (Floating Point Numbers)

Das binäre Gleitkommazahlenformat lässt die Darstellung erheblich größerer Wertebereiche zu. Etwas Ähnliches kennen wir von dem wissenschaftlichen Zahlenformat eines Taschenrechners, der mit Dezimalzahlen rechnet. Wenn auf seinem Display z. B. die beiden Zahlen –2,746 (Mantisse) und 09 (Exponent) erscheinen, haben wir es mit dem Produkt aus der negativen Zahl –2,746 und der Zehnerpotenz 109 = 1.000.000.000, d. h. mit –2.746.000.000 zu tun.

Bild 35: Gleitkommazahlen decken mit 32 Bit einen riesigen Wertebereich ab.

Entsprechend ist die Darstellung einer Gleitkommazahl ψ im Binärformat mit einfacher Genauigkeit (Single Precision) nach dem Normungsstandard ANSI/IEEE Std. 754-1985 (Abbildung 35). Der erste Term (–1)S in Gleichung (71) ist 1, wenn das Vorzeichen- Bit 0 ist, und –1, wenn das Vorzeichen-Bit 1 ist, d. h. bei S = 0 ist die Zahl positiv, bei S = 1 negativ. Der zweite Term M ist die 23-stellige Mantisse, genauer gesagt ihr Nachkommateil, mit den Bitwerten m22…m0. Sie ist so normiert, dass links vom Komma nur ein von null verschiedener Wert steht, im binären Zahlensystem ist dies immer die 1. Deshalb spart man sich dieses Bit und nutzt es zur Steigerung der Genauigkeit bei der Darstellung des Nachkommateils der Mantisse. Der dritte Term 2E-127 enthält die 8-stellige Hochzahl E mit den Bitwerten e7…e0. Sie kann maximal den Wert 255 annehmen und minimal den Wert 0, was für den dritten Term einen Wertebereich von 2128 bis 2-127 vorgibt. Dezimal ausgedrückt ist das die Spanne von 3,4028 • 1038 bis 5,8775 • 10-39.

Gleichung (72) stellt die Single-Precision-Gleitkommazahl als Binärzahl dar. Die zwei Beispiele in Gleichung (73) sollen das verdeutlichen.

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Prinzipschaltung A/D-Wandler mit S&H

Bild 36: Vom Speicherkondensator wird der Signalwert bis zum Ende des Abtastintervalls gehalten.

Abbildung 36 zeigt das Prinzipschaltbild eines ADCs. Es besteht aus einem Eingangsverstärker, dessen Ausgang über einen Schalter S einen Haltekondensator lädt, solange S geschlossen ist. Diesen Zeitabschnitt nennt man Sample-Phase (to sample: abtasten). Ist der Ausgangswiderstand des Verstärkers niedrig genug, folgt die Spannung am Kondensator der Eingangsspannung nahezu verzögerungsfrei. Die Hold- Phase (to hold: halten) beginnt mit dem Öffnen des Schalters. Wenn der auf den Kondensator folgende Impedanzwandler einen sehr hohen Eingangswiderstand hat, bleibt die Kondensatorspannung (und damit die Ausgangsspannung des Impedanzwandlers) bis zum Ende der Sample-Phase konstant. In diesem Zeitabschnitt muss der vom Impedanzwandler gespeiste Analog-zu-digital-Codierer den Sample-Wert in ein N-stelliges Binärwort umcodiert haben. Unmittelbar danach beginnt eine neue Abtastphase, gefolgt von einer Haltephase, in der wieder die Umcodierung erfolgt, usw. Die Spannung am Ausgang des Impedanzwandlers entspricht der roten Kurve. Die Anordnung aus Eingangsverstärker, Schalter und Impedanzwandler wird im Englischen meist als „Sample and Hold Amplifier“ (SHA) bezeichnet. Genauer wäre der Name „Track and Hold Amplifier“ (THA), weil ja die Spannung am Haltekondensator bis zum Beginn der Haltephase der Eingangsspannung folgt. Die Technik der A/D-Wandler ist eine eigene Artikelserie wert. So viel sei an dieser Stelle gesagt: Alle Wandlerfehler wie Jitter, Unlinearitäten, Offsets, fehlende Codewörter (Missing Codes) usw. schlagen sich in der Abbildungsgenauigkeit nieder und verschlechtern die Ausgangssignalparameter.

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Veranschaulichung der Diskretisierung von Zeit und Amplitude

Anhand der folgenden drei Abbildungen wollen wir die Auswirkungen der Rasterung (Diskretisierung) von Zeit (Abtastfrequenz) und Amplitude (Wertebereich) studieren. Dazu wurde in Scilab ein kleines Programm geschrieben, welches eine vorgebbare analoge, d. h. werte- und zeitkontinuierliche Zeitfunktion abtastet, den Abtastwert quantisiert und den quantisierten Abtastwert über die Abtastperiode konstant hält. Aus den Abweichungen zwischen der analogen kontinuierlichen Zeitfunktion und der treppenförmigen werte- und zeitgerasterten wird der Amplitudenfehler ermittelt.

Wir wählen als analoge Zeitfunktion eine exponentiell gedämpfte Sinusschwingung über 2,5 Perioden (0…5 π = 15,7) gemäß Gleichung (74). Die x-Werte werden als eine gewisse Zahl von Abtastwerten vorgegeben, die Stufenhöhe über die Länge des darstellenden Binärwortes gesteuert. Da wir einen y-Wertebereich von –1 ≤ y ≤ + 1 voraussetzen, beträgt bei einer Wortlänge von w das Quantisierungsraster 2-w+1.

In Abbildung 37 wurde eine Wortlänge von w = 5 gewählt, deshalb ist die Stufenhöhe der Treppenkurve 2-5+1 = 2-4 = 0,0625. Weil mit nur 50 Abtastwerten über das ganze Intervall 0…5 π gearbeitet wird, ergibt sich eine recht grobe Kurve des Quantisierungsfehlers. In Abbildung 38 beträgt die Wortlänge w = 8, deshalb ist die minimale Stufenhöhe der Treppenkurve 2-7 = 0,0078125. Das Funktionsintervall wird 100-mal abgetastet. Im Ergebnis ist der Quantisierungsfehler kleiner als in Abbildung 37. Wegen des relativ groben zeitlichen Abtastrasters ergeben sich aber dort, wo die analoge Funktion steil ist (d. h. ihre Werte in kurzer Zeit stark verändert), immer noch zeitbedingte große Fehler von einem Vielfachen des Quantisierungsintervalls. Wenn man sowohl die Abtasthäufigkeit als auch die Wortlänge weiter steigert, gehen die damit verbundenen Abbildungsfehler weiter zurück.

Abbildung 39 zeigt die Verhältnisse bei 5000 Abtastwerten und 32 Bit Wortbreite. Durch die extrem feine Stufung der Treppenkurve ist diese praktisch deckungsgleich mit der analogen Kurve. Erst bei starker Vergrößerung zeigen sich die Abweichungen. Entsprechend klein sind auch die Quantisierungsfehler. Sie sind in diesem extremen Beispiel sicherlich kleiner als das jedem analogen Signal überlagerte mehr oder weniger starke Rauschen. An den flachen Teilen der Kurve lässt sich die hohe Amplitudenauflösung gut erkennen.

Abbildung 40 zeigt dies an der Umgebung des dritten Maximums. Zusammenfassend: Sowohl die wortbreitenbedingte Amplitudenauflösung als auch die zur Abtastfrequenz proportionale Zeitauflösung gehen im Zusammenwirken mit der Signalform in den Quantisierungsfehler ein.

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Quantisierungsrauschen

Bei linearer Quantisierung (gleiche Stufenhöhe für alle Signalwerte) wird der Aussteuerbereich A (– Full Scale … + Full Scale) in 2w gleich große Quantisierungsintervalle Δ zerlegt, wobei w die Wortlänge eines Abtastwerts in Bits beschreibt (Gleichung [75]). Der Quantisierungs- bzw. Rundungsfehler ε in einem Abtastintervall Ts ist definiert als der Unterschied zwischen wahrem und quantisiertem Abtastwert (76).

Bild 41: Das lineare Ersatzmodell eines Quantisierers fügt dem wertekontinuierlichen Signal nach dem ZOH eine rauschartige Störgröße hinzu, die den Quantisierungsfehler repräsentiert.

Wegen des sprunghaften Verhaltens des Quantisierers an den Entscheidungsschwellen zählt er zu den nichtlinearen Elementen. Man kann ihn aber durch ein lineares Ersatzmodell nachbilden (Abbildung 41). Das Quantisierungsrauschen wird über das Signal-Rausch- Verhältnis nach Gleichung (77) beschrieben: Dabei stellen Px die Signalleistung am Eingang des Quantisierers und Pε die Leistung des Quantisierungsfehlers dar.

Setzt man voraus, dass die Quantisierungsfehler unkorrelierte, im Intervall [–Δ/2, Δ/2] gleich verteilte Zufallsgrößen sind und die Quantisierungsfehler ε(nTs) nicht von den wertekontinuierlichen Eingangsabtastwerten x(nTs) abhängen, ergibt sich die Leistung des gleichspannungsfreien Quantisierungsfehlers ε(nTs) gemäß Gleichung (78).

Mit der Definition des Quantisierungsintervalls nach Gleichung (75) wird aus Gleichung (78) die (79). Gleichung (79) in Gleichung (77) eingesetzt, ergibt das gesuchte Signal-Rausch-Verhältnis in dB (80). Es lohnt sich, Gleichung (80) etwas näher zu betrachten. Wir sehen, dass der erste Summenterm auf der rechten Seite nur von der Wortbreite w (also der Länge der darstellenden Binärzahl) abhängt. Jedes Bit mehr erhöht den Signal-Rausch- Abstand um ca. 6 dB. Der zweite Summenterm hängt von der Leistung des Eingangssignals des Quantisierers ab. Je kleiner diese ist, desto kleiner wird der Rauschabstand. Andererseits bewirkt ein großer Aussteuerbereich A ebenfalls eine Abnahme von S/N, weil das Signal dann auf weniger Stufen quantisiert wird und die relativen Quantisierungsfehler entsprechend größer werden. Bei Vollaussteuerung mit einem Sinus ist der zweite Summenterm 1,76 dB, bei typischen digitalen Audio-Signalen –8,5 dB. Audio-CDs mit einer Wortbreite w = 16 Bit können deshalb maximal ein S/N von 96,3 – 8,5 = 87,8 dB erreichen. Diese Betrachtungen setzen ein unverrauschtes Eingangssignal voraus. Für das Quantisierungs- oder Rundungsrauschen gut ausgesteuerter A/D-Wandler mit Wortlängen von mehr als 8 Bit merken wir uns als Faustregel: 6 dB S/N pro Bit Wortlänge. In Teil 5 beschäftigen wir uns mit den diskreten Berechnungsmethoden zur Faltung, Fouriertransformation und ihrer schnellen Variante, der FFT.

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Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 4/8

Inhalt des Fachbeitrags

Der Abtastvorgang in der Praxis

Impulsantwort und Frequenzgang eines ZOH

Von der Treppenkurve zum Digital-Signal

Analog-zu-digital-Wandler

Digitale Zahlenformate

Vorzeichenlose Ganzzahl (Unsigned Integer)

Binärversatz (Offset Binary)

Vorzeichen-Betrag (Sign and Magnitude)

Zweierkomplement (Two's Complement)

Gleitkommazahlen (Floating Point Numbers)

Prinzipschaltung A/D-Wandler mit S&H

Veranschaulichung der Diskretisierung von Zeit und Amplitude

Quantisierungsrauschen

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Inhalt

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 1/8

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 2/8

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 3/8

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 5/8

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 6/8

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 7/8

Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 8/8

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