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Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 8/8

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Aus ELVjournal 03/2008     0 Kommentare
Einführung in die digitale Signalverarbeitung Teil 8/8

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Die z-Transformation als diskrete Variante der Laplace-Transformation ist ein mächtiges Werkzeug zur Analyse und zum Verständnis eines Abtast-LTI-Systems. Sie stellt den Zusammenhang zwischen seiner Differenzengleichung im Zeitbereich und der korrespondierenden Übertragungsfunktion im Frequenzbereich her.

Die z-Transformation

Zur Analyse digitaler Signale und Systeme (Abtastsysteme) im Frequenzbereich hat sich die z-Transformation bewährt. Vor ihrer Einführung wollen wir noch einmal einen Rückblick auf die Verhältnisse im analogen kontinuierlichen Frequenzbereich werfen. Gleichung (18) definierte die allgemeine Fouriertransformation eines beliebigen Zeitereignisses. Nun nehmen wir als untere Integrationsgrenze t = 0 an (kausale Zeitfunktion, die bei t = 0 beginnt) und ersetzen die imaginäre Frequenzvariable iω durch die komplexe Frequenzvariable s = σ + iω. Die Erweiterung der imaginären Frequenzvariablen iω um einen Realteil σ wird analytische Fortsetzung genannt.
Gleichung 103
Gleichung 103
Damit geht das Fourierintegral über in das nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace (1749–1827) benannte einseitige Laplace-Integral als spektrale Dichtefunktion nach Gleichung (103). Je nach Zeitfunktion f(t) darf σ als Realteil von s einen gewissen Wert nicht über- oder unterschreiten, damit das Integral einen endlichen Wert annimmt (konvergiert). Durch das Einfügen des Dämpfungsterms e-σt und den Beginn der Integration zum Zeitpunkt t = 0 (d. h. zum Einschaltzeitpunkt des Signals) lassen sich oft einseitige Laplace-Transformierte ermitteln, wo das Fourierintegral mangels Konvergenz nicht existiert.
Bild 67: Die Funktion eat klingt mit dem Dämpfungsfaktor a > 0 an, ist für a = 0 konstant und klingt für a < 0 ab.
Bild 67: Die Funktion eat klingt mit dem Dämpfungsfaktor a > 0 an, ist für a = 0 konstant und klingt für a < 0 ab.
Wir wollen das am einfachen Beispiel einer bei t = 0 beginnenden an- bzw. abklingenden e-Funktion verdeutlichen und setzen also f(t) = eat. Für positives a klingt f(t) auf unendlich an, für a = 0 geht f(t) in die Sprungfunktion über (behält für alle Zeiten den Wert 1) und für negatives a klingt f(t) auf null ab (vergl. Abbildung 67). Aufgrund ihrer Wirkung wird a auch Dämpfungskonstante genannt.
Gleichung 103
Gleichung 103
Gleichung 104
Gleichung 104
Was bedeutet dies nun in der komplexen s-Ebene? Um das herauszufinden, setzen wir f(t) = eat (reellwertige e-Funktion) in Gleichung (103) ein und erhalten Gleichung (104). Die Laplacetransformierte existiert nur, wenn (a ¨C ¦Ò) < 0, d. h. ¦Ò > a ist, weil nur dann das Einsetzen der oberen Grenze t = ¡Þ den Wert null ergibt und dadurch das Integral endlich ist. Man sagt auch, das Integral konvergiert f¨¹r ¦Ò > a. Dieser Bereich wird deshalb auch Konvergenzgebiet genannt (im Englischen ROC: Region of Convergence).
Bild 68: Im grün eingefärbten Gebiet konvergiert das Laplace-Integral von eat.
Bild 68: Im grün eingefärbten Gebiet konvergiert das Laplace-Integral von eat.
Abbildung 68 gibt diesen Sachverhalt in Form eines PN-Diagramms (P = Pol, N = Nullstelle) von L(s) wieder. Ein Pol ist eine Nullstelle des Nenners von L(s) und wird mit einem Kreuz gekennzeichnet. Eine Nullstelle ist eine Nullstelle des Zählers von L(s) und wird mit einem Kreis gekennzeichnet. Weil hier der Zähler von L(s) die Konstante 1 ist, hat die Laplacetransformierte der reellwertigen e-Funktion keine Nullstelle. Wenn die imaginäre Achse (σ = 0) im Konvergenzgebiet liegt, geht auf ihr das Laplace-Integral L(s) in das Fourierintegral F(iω) über.
Gleichung 105
Gleichung 105
Gleichung 106
Gleichung 106
Zur Herleitung der z-Transformation wollen wir zunächst ein abgetastetes Zeitsignal gemäß Gleichung (50) Laplace-transformieren. Gleichung (105) zeigt den Rechengang: Aus der letzten Zeile von Gleichung (105) wird ersichtlich, dass sich Xs(s) in Vielfachen von ±ωs periodisch wiederholt. Mit anderen Worten: Es ergeben sich die gleichen Werte für X(s) wenn man ω durch ω ± νωs (ν = 0, 1, 2, 3 …) ersetzt. In Gleichung (106) wird das verdeutlicht.
Bild 69: Der gesamte Informationsgehalt eines bandbegrenzten, abgetasteten Signals liegt in jedem einzelnen der abgebildeten Streifen in der Spektralebene. Die Streifen wiederholen sich periodisch in ωs. Es genügt daher, den grünen Streifen um den Ursprung zu betrachten.
Bild 69: Der gesamte Informationsgehalt eines bandbegrenzten, abgetasteten Signals liegt in jedem einzelnen der abgebildeten Streifen in der Spektralebene. Die Streifen wiederholen sich periodisch in ωs. Es genügt daher, den grünen Streifen um den Ursprung zu betrachten.
Diese Periodizität der Laplacetransformierten eines abgetasteten (diskreten) Signals zeigt Abbildung 69. Wir können das an einem Beispiel veranschaulichen. Angenommen, wir haben eine kontinuierliche Zeitfunktion x(t), deren Laplacetransformierte X(s) durch einen idealen Tiefpass mit der Grenzfrequenz ωs/2 bandbegrenzt wird.
Bild 70: Das Spektrum einer biquadratischen kontinuierlichen Übertragungsfunktion muss bei ±ωs/2 bandbegrenzt werden, um Aliaseffekte zu vermeiden.
Bild 70: Das Spektrum einer biquadratischen kontinuierlichen Übertragungsfunktion muss bei ±ωs/2 bandbegrenzt werden, um Aliaseffekte zu vermeiden.
Abbildung 70 zeigt ihren Betrag. Wir sehen zwei Pole bei σ < 0 und ±iωp. Die Nullstellen liegen auf der imaginären Achse (σ = 0) bei ±iωN. Die zum bandbegrenzten Spektrum gehörende Zeitfunktion x*(t) können wir nun ohne Aliaseffekte mit ωs abtasten. Wir erhalten die Wertefolge x*(n), die wir der Laplacetransformation unterwerfen.
Bild 71: Durch die Abtastung mit ωs wiederholt sich das Abtastspektrum periodisch in ωs.
Bild 71: Durch die Abtastung mit ωs wiederholt sich das Abtastspektrum periodisch in ωs.
Das Ergebnis nach Betragsbildung |Hp(s)| ist wie erwartet periodisch (Abbildung 71). Die Schnittkontur bei ¦Ò = 0 bildet den Betragsfrequenzgang f¨¹r s = i¦Ø (natürliche Frequenzen) ab.
Gleichung 107
Gleichung 107
Die Periodizität kann vermieden werden, indem man die s-Ebene durch Gleichung (107) auf die z-Ebene abbildet. Zur Schreibvereinfachung wurde in Gleichung (107) Ts = T gesetzt (Ts: Sampling-Intervall).
Die Abbildung z = esT bewirkt, dass die Teile jeden Streifens mit σ < 0 in Abbildung 69 deckungsgleich auf das Innere eines Einheitskreises in der z-Ebene abgebildet wird. Für σ > 0 wird auf das Äußere des Einheitskreises abgebildet.
Bild 72: So bildet sich die s-Ebene über die Transformation z = esT auf die z-Ebene ab.
Bild 72: So bildet sich die s-Ebene über die Transformation z = esT auf die z-Ebene ab.
Es genügt also, das von ±iωs begrenzte Gebiet zu betrachten (Abbildung 72). Alle weiteren Streifen der s-Ebene legen sich als deckungsgleiche Blätter über die z-Ebene und enthalten keine weiteren Informationen.
Setzt man Gleichung (107) in Gleichung (105) ein, ergibt sich die Definitionsformel für die einseitige z-Transformierte (Gleichung [108]). Dabei wurden die Schreibvereinfachungen x(nTs) = x(n) und Xs(z) = X(z) verwendet.
Gleichung 108
Gleichung 108
Gleichung 109
Gleichung 109
Die z-Transformierte einer Zeitfolge x(n) existiert nur dann, wenn die Summe nach Gleichung (108) konvergiert, d. h. einen endlichen Summenwert aufweist. Ein Beispiel für die Anwendung von Gleichung (108): Zu berechnen ist die z-Transformierte einer kausalen, reellen Exponentialfolge x(n) = an. Kausal bedeutet, dass alle Folgenwerte für n < 0 null sind. Für a = 1,1 ergeben sich also die Folgenwerte ... x(–2) = 0, x(–1) = 0, x(0) = 1, x(1) = 1,1, x(2) = 1,21, x(3) = 1,33, x(4) = 1,46, x(5) = 1,61, x(6) = 1,77, x(7) = 1,95 usw. Gleichung (109) zeigt den Rechengang.
Gleichung 110
Gleichung 110
Bei der Herleitung wurde die Summenformel für eine unendliche geometrische Reihe gemäß Gleichung (110) verwendet. Für a = 1 geht die Exponentialfolge in eine Sprungfolge über, deren Werte ab dem Abtastindex 0 konstant den Wert 1 aufweisen, also x(–2) = 0, x(–1) = 0, x(0) = 1, x(1) = 1, x(2) = 1, x(3) = 1 usw. Die z-Transformierte z/(z – 1) erhalten wir aus Gleichung (109), indem wir darin a = 1 setzen. Nicht immer ist die Transformation so einfach wie in den obigen Beispielen. Aber es gibt umfangreiche Korrespondenztabellen, aus denen man Nutzen ziehen kann bei der Transformation und insbesondere bei der Rücktransformation aus dem z-Bereich in den diskreten Zeitbereich.
Tabelle 3 zeigt einige wichtige Korrespondenzen für die Laplace- und die z-Transformation.
Tabelle 3: Laplace- und z-Korrespondenzen
Tabelle 3: Laplace- und z-Korrespondenzen
An einem weiteren Beispiel wollen wir die Auswirkungen der Transformation einer im s-Bereich gegebenen komplexen Übertragungsfunktion H(s) = U2(s)/U1(s) in den z-Bereich studieren. Wir gehen davon aus, dass das zugrunde liegende System linear und zeitinvariant ist (LTI-System). Dann lässt sich seine Übertragungsfunktion als Quotient zweier Polynome in s (Zählergrad ≤ Nennergrad) darstellen. Abbildung 70 stellt den Betrag einer solchen Übertragungsfunktion mit Bandbegrenzung bei ±ωs/2 dar.
Gleichung 111
Gleichung 111

Die Übertragungsfunktion mit der Variablen s zeigt Gleichung (111).

- Die Nullstellen des Zählerpolynoms sind die Nullstellen der Übertragungsfunktion.

- Die Nullstellen des Nennerpolynoms bezeichnet man als Pole der Übertragungsfunktion, weil diese hier den Wert ∞ annimmt.

Bild 73: Das Spektrum einer kontinuierlichen biquadratischen Übertragungsfunktion im s-Bereich (oben links) und ihr PN-Diagramm (unten links). Auf der rechten Seite die dreidimensionale Darstellung des Abtastspektrums im z-Bereich (oben rechts) und die zugehörige PN-Anordnung (unten rechts).
Bild 73: Das Spektrum einer kontinuierlichen biquadratischen Übertragungsfunktion im s-Bereich (oben links) und ihr PN-Diagramm (unten links). Auf der rechten Seite die dreidimensionale Darstellung des Abtastspektrums im z-Bereich (oben rechts) und die zugehörige PN-Anordnung (unten rechts).
In der linken Hälfte von Abbildung 73 sehen wir oben links das dreidimensionale „Betragsgebirge“ und unten links eine zweidimensionale Darstellung der Lage der Nullstellen (dargestellt als o) und der Pole (dargestellt als x) in der s-Ebene. Die Betragsdarstellung wurde für σ > 0 abgeschnitten (wir erinnern uns: s = Re[s] + iIm[s] = σ + iω). Die Schnittkontur ist der Betragsfrequenzgang von H(s) für s = iω. Die dreidimensionale Darstellung lässt sich folgendermaßen veranschaulichen. Stellen wir uns ein elastisches Tuch vor, das flach auf der s-Ebene liegt. An den Nullstellen wird das Tuch an der s-Ebene angeheftet und an den Polen nach oben gedrückt. Dadurch modelliert das Tuch eine Oberfläche mit Bergen (Pole) und Tälern (Nullstellen). So wird verständlich, dass sich Pole und Nullstellen mit wachsendem Abstand zur imaginären Achse immer weniger auf den Betragsfrequenzgang auswirken. Dieser ergibt sich ja aus dem senkrechten Schnitt durch das Gebirge auf Höhe der imaginären Achse und spiegelt dann nur die Verhältnisse auf den Ausläufern der entfernten Pole wider. Umgekehrt wirken sich Pole und Nullstellen umso stärker aus, je näher sie an die imaginäre Achse heranrücken.
Gleichung 112
Gleichung 112
Die Transformation von H(s) gemäß Gleichung (111) in H(z) erfolgt durch Umrechnen der Pole und Nullstellen entsprechend der Definition von z in Gleichung (107). Es ergibt sich Gleichung (112).
Gleichung 113
Gleichung 113
Gleichung 114
Gleichung 114
Wir wollen das einmal in Gleichung (113) konkret vorführen. Dabei wird die Abtastperiode T gleich 1 gesetzt, was einer Normierung der komplexen Frequenz s entspricht. Aus den Nullstellen und Polen im z-Bereich lassen sich durch die Anschrift in Gleichung (114) (Produkt der Linearfaktoren) das Zähler- und das Nennerpolynom und damit die Übertragungsfunktion in z berechnen.
Gleichung 115
Gleichung 115
Die dreidimensionale Darstellung von H(z) rechts oben in Abbildung 73 erhält man, indem man für ein regelmäßiges Raster in der z-Ebene den Betrag von H(z) nach Gleichung (114) berechnet. Ein anderer Weg führt zum Ziel, indem man s in H(s) nach Gleichung (111) durch die nach s aufgelöste Definitionsgleichung (107) von z substituiert, d. h. durch (ln[z])/T mit T = 1 (vergleiche Gleichung [115]), und den Betrag bildet.
Nun wäre noch zu klären, wie der Betragsfrequenzgang von H(z) zu gewinnen ist. Wir erinnern uns, dass die imaginäre Achse der komplexen s-Ebene zwischen –ωs/2 < ω < ωs/2 auf den Einheitskreis in der z-Ebene abgebildet wird (vergl. Abbildung 72). Deshalb müssen wir in Abbildung 73 oben rechts die Werte finden, deren Koordinaten in der z-Ebene einen Abstand von 1 zum Ursprung aufweisen (|z| = 1). Am einfachsten kann man dies tun, indem wir alle Werte von |H(z)| gleich null setzen, für die |z| > 1 gilt. So stanzt man gewissermaßen den Teil von |H(z)| aus, der innerhalb des Einheitskreises liegt.
Bild 74: Stanzt man das dreidimensionale Betragsspektrum der Übertragungsfunktion in z im Abstand eins zum Ursprung der z-Ebene aus, lässt sich an der Stanzkontur der Frequenzgang ablesen.
Bild 74: Stanzt man das dreidimensionale Betragsspektrum der Übertragungsfunktion in z im Abstand eins zum Ursprung der z-Ebene aus, lässt sich an der Stanzkontur der Frequenzgang ablesen.
Die Stanzfläche beschreibt den Betrag des Frequenzgangs im z-Bereich (Abbildung 74). Die untere Hälfte von Abbildung 73 zeigt in zwei PN-Diagrammen die genaue Lage von Polen (x) und Nullstellen (o) in der s- bzw. der z-Ebene. Aus der Lage der Pole und Nullstellen in der s- bzw. z-Ebene kann man somit Rückschlüsse auf den Frequenzgang ziehen. Mit einem PN-Editor lässt sich durch gezieltes Anordnen der Pole und Nullstellen ein gewünschter Frequenzgang erzeugen.

Vertiefung

Bei jedem LTI-System ist das Verhältnis zwischen Ausgangsgröße U2 (Reaktion) und Eingangsgröße U1 (Anregung) als Quotient zweier Polynome in s oder z darstellbar. Man nennt diesen Quotienten die komplexe Übertragungsfunktion des LTI-Systems in der Gestalt einer gebrochen rationalen Funktion in s oder z. Die Nullstellen des Zählerpolynoms sind die Nullstellen der Übertragungsfunktion, die Nullstellen des Nennerpolynoms seine Pole.
Ein Polynom vom Grad n hat die allgemeine Gestalt gemäß Gleichung (116). Es hat n Nullstellen (Wurzeln), d. h. es gibt n Werte für x, an denen y den Wert null annimmt. Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten hat jede komplexe Wurzel x01 ein konjugiert komplexes Gegenstück x02, was Gleichung (117) vermitteln soll. Reelle und komplexe Wurzeln können auch jeweils in einer gewissen Vielfachheit auftreten. Weil sich jedes Polynom durch seine Wurzeln in Form eines Produkts von Linearfaktoren darstellen lässt, gilt: Gleichung (116) = Gleichung (118).
Gleichung 116
Gleichung 116
Gleichung 117
Gleichung 117
Gleichung 118
Gleichung 118

Beispiel 1:

Die reellen Wurzeln 1, 2, 3, 4 führen zu Gleichung (119).

Beispiel 2:

Die konjugiert komplexen Wurzeln 1 ± i2 und 3 ± i4 sowie die relle Wurzel 5 führen zu Gleichung (120).

Beispiel 3:

Die doppelten konjugiert komplexen Wurzeln 1 ± i2 und die einfache konjugiert komplexe Wurzel 3 ± i4 sowie die relle Wurzel 5 führen zu Gleichung (121).

Gleichung 119
Gleichung 119
Gleichung 120
Gleichung 120
Gleichung 121
Gleichung 121
Bild 75: Ein Beispiel für den Zusammenhang zwischen der Koeffizientendarstellung eines Polynoms und dessen Nullstellen.
Bild 75: Ein Beispiel für den Zusammenhang zwischen der Koeffizientendarstellung eines Polynoms und dessen Nullstellen.
Abbildung 75 stellt die Nullstellen von Gleichung (121) in der komplexen x-Ebene grafisch dar. Die Beispiele bestätigen, dass konjugiert komplexe und reelle Wurzeln zu Polynomen mit reellen Koeffizienten gehören. Mit anderen Worten: Komplexe Pole und Nullstellen treten immer spiegelbildlich zur reellen Achse in der s- oder z-Ebene auf, reelle Pole oder Nullstellen liegen stets auf der reellen Achse. Bei einer LTI-Übertragungsfunktion sind sowohl Zähler als auch Nenner Polynome in s oder z. Aus Kausalitätsgründen (keine Wirkung vor ihrer Ursache!) darf der Grad des Zählerpolynoms (d. h. seine höchste Potenz in s oder z) nur kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms sein. Damit bestimmt der Grad des Nennerpolynoms den Grad einer Übertragungsfunktion (dieser ist als der höhere Grad von Zähleroder Nennerpolynom definiert), wenn diese ein lineares, zeitinvariantes und kausales System beschreibt.
Gleichung 122
Gleichung 122
Damit ist die allgemeine Anschrift der komplexen Übertragungsfunktion eines LTI-Systems in der s-Ebene durch Gleichung (122) plausibel. Die Nullstellen des Zählers tragen als Nullstellen der Übertragungsfunktion den Index 0, die des Nenners als Pole der Übertragungsfunktion den Index ∞.
Gleichung 123
Gleichung 123
Der zusätzliche Index s der Koeffizienten des Zähler- und des Nennerpolynoms in der Gleichung dient zur formalen Unterscheidung von den Koeffizienten der Übertragungsfunktion in z, die das Übertragungsverhalten des Abtastsystems beschreibt (Gleichung [123]). Später lassen wir diesen Unterindex weg, weil wir uns ausschließlich im z-Bereich bewegen. Im nächsten Teil dieser Reihe werden wir zeigen, wie sich die Differenzengleichungen im Zeitbereich und ihre Entsprechungen im z-Bereich in Schaltungen umsetzen lassen.

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